Dies der Anhang 7 zum Artikel Wie ist die Welt entstanden?, in dem ich erkläre, weshalb es überhaupt eine Welt gibt. Der folgende Text wird möglicherweise nur in diesem Zusammenhang verständlich.

Die Herleitung der Dirac Gleichung

Philipp Wehrli, 7. Januar 2010

Die Grösse m ist also konstant unter Poincaré-Transformationen. Dabei ist m² = Det P die Determinante von verschiedenen Aussagenpaaren. Gibt es eine Wellenfunktion, welche dieses m sozusagen durch den Raum der Aussagenpaare transportiert? -Das m würde zwar zu verschiedenen Aussagenpaaren gehören, es würde aber doch so aussehen, als würde es durch den Raum verschoben. So wie ein Ball, der sich in einem Film zu bewegen scheint, in Wirklichkeit eine Aneinanderreihung vieler Bilder ist, die den Ball völlig starr abbilden.

Die Frage ist also, ob es eine Kontinuitätsgleichung gibt, die beschreibt, wie sich Massen im Raum der Aussagenpaare bewegen. Tatsächlich ist es Dirac gelungen, aus der Klein-Gordon Gleichung eine solche Kontinuitätsgleichung herzuleiten (Tre 1). Der erste Schritt besteht darin, die Klein-Gordon Gleichung in zwei Faktoren zu zerlegen, um die Quadrate zu eliminieren.

Mit der Notation:
 

Schreiben wir die Klein-Gordon Gleichung als:

Das Problem der Klein-Gordon Gleichung ist, dass sie nicht als Kontinuitätsgleichung interpretiert werden kann, die lautet:

Um dieses Problem zu umgehen, versuchte Paul Dirac, die Gleichung nach dem Schema

-a² - b² = (ia + b)(ia - b)

zu zerlegen und setzte:
 

Rein algebraisch stimmt die Gleichung. Allerdings müssena₁, a₂, a₃ und b gewisse Bedingungen erfüllen, nämlich:

a_ia_j + a_ja_i = 2d_ij

a_ib + ba_i = 0

b² = 1

Man kann zeigen, dass diese Bedingungen nur erfüllt sein können, wenn a₁, a₂, a₃ und b Matrizen sind. Und zwar braucht es im einfachsten Fall komplexwertige 4x4 Matrizen. Häufig wählt man dazu:
 

g_i steht für g₁, g₂, g₃ und s_i ist jeweils die dazu gehörende Pauli Matrix. Die g_i sind also auch 4x4 Matrizen. Damit wird die Dirac-Gleichung zu:

Eigentlich wollten wir ja eine Welle beschreiben. Weil nun 4x4 Matrizen auftreten, haben wir ein Set von vier Wellen. Die Dirac Gleichung führt also auf vier Lösungen Y₁, Y₂, Y₃ und Y₄, die im einfachsten Fall, nämlich für ein ruhendes Elektron etwa so aussehen können:

Was bedeutet dies?

Zunächst einmal muss ich betonen, dass es sich hier nicht um Vierervektoren handelt, wie wir sie aus der Relativitätstheorie kennen. Die Vierervektoren der Relativitätstheorie bestehen bekanntlich aus einem Eintrag für Zeit, bzw. Energie und drei Einträgen für die Orts- bzw. Impulskoordinate. Ein Eintrag müsste sich also von den anderen dreien deutlich unterscheiden. Anders in den vierkomponentigen Vektoren der Dirac Gleichung: Die Komponenten treten hier paarweise auf.

Die ersten zwei Komponenten Y₁ und Y₂ beschreiben gerade ein Teilchen mit Spin ½. Die zweiten zwei Komponenten Y₃ und Y₄ sind völlig gleich bis auf das negative Vorzeichen. Sie beschreiben also ebenfalls ein Teilchen mit Spin ½, aber mit negativer Energie. Dies war für Paul Dirac der Anlass, die Existenz von Antiteilchen zu postulieren.

Die Dirac-Gleichung beschreibt eine Welle in der Raumzeit, bzw. über dem Raum der Aussagenpaare. Die Frage ist, was bei dieser Welle erhalten bleibt, während sich die Welle durch den Raum fortpflanzt? Gesucht ist also ein Strom j_m = (r, j_x, j_y, j_z), der die Kontinuitätsgleichung erfüllt. Diese Gleichung ist erfüllt für den folgenden Dichtestrom-4-Vektor:
 

Seine zeitliche Komponente kann als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden:
 

Die allgemeine Lösung der kräftefreien Dirac-Gleichung sieht so aus (Tre 1):

Hier kommt erstens die Impuls-Ortskomponente im Exponenten hinzu. Zweitens haben wir mit den zwei Summanden in der Klammer  eine Überlagerung von Teilchen und Antiteilchen. Solange nicht gewisse Möglichkeiten durch Information über den Zustand ausgeschlossen werden, haben wir in der der Quantentheorie immer Überlagerungen aller Möglichkeiten. So formuliere ich auch null Information im Raum der Aussagenpaare: Bei null Information haben wir eine Überlagerung aller Möglichkeiten.

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